Bài 105

TẠP-QUÁI-TRUYỆN

Cấu-trúc cuả Tạp-Quái-Truyện đã được duyệt kỹ trong hai bài 96 và 97. Hay ho nhất là cắt nghiã tại sao tám quẻ cuối truyện (Đại-quá, Cấu, Tiệm, Di, Ký-tế, Quy-muội, Vi-tế, Quyết) lại không phản-đối từng đôi một. Dưới đây là bổ-túc bằng Tân-toán-học.

GS Daniel Goldenberg đã chứng-minh rằng nhóm 64 biệt-quái với phép toán 2-chu-kỳ (hào chi giữa hai hào lân-cận = 2-cycle), là một nhóm phi-abel (non-abelian group). Tính phi-abel là hệ-quả hiển-nhiên cuả kết-hợp giữa 2-chu-kỳ. Tuy nhiên, nếu ta dùng liệt-kê mật-mã Gray (Xem bên dưới), nhóm phi-Abel này sẽ trở thành nhóm Abel, bởi vì với bất kỳ ba 2-chu-kỳ liên-tiếp nào, phép cộng đẳng-thặng 2 sẽ giao-hoán.

Nhờ Định-lý khổng-lồ cuả toán-thuyết về nhóm, nhóm phi-Abel này nghiễm-nhiên là nhóm giản-dị hữu-hạn xưa nhất thế-giới. Định-lý căn-bản Đại-số Chu-dịch (Định-lý 7) bảo rằng: "Với bất kỳ một cặp biệt-quái nào ta cũng tìm ra được một biệt-quái thứ ba duy nhất, mệnh-danh là biệt-quái trung-gian, biến đổi một biệt-quá trong cặp thành biệt-quái kia trong cặp qua phép cộng hay phép trừ đẳng-thặng 2". Tỷ như trong thí-dụ sau đây:

001011 (Tiệm u) 100001 (Di v[)

+ 100001 (Di v[) + 110100 (Quy-muội v)

101010 (Ký-tế ) 010101 (Vị-tế )

On the abstract level, professor Goldenberg showed that the group of 64 hexagrams of the Chouyi (R34, p. 149-51), under the binary operation of 2-cycle (permutation of 2 contiguous hsiaos or hsiao swap or bits swap) is a non-abelian group, i.e. satisfying closure, associativity, identity element, and inverse. The non-abelian property is obvious because of the order of composition of the 2-cycles.

However, if we use the Gray Code Sequencing (cf. Chapter Five, § 2.7), the group becomes abelian, because for any three successive 2-cycles the addition or the substraction modulo 2 is commutative. Check!

Thanks to the Enormous Theorem in Group Theory (R36), this non-abelian group constitutes the oldest simple finite group of the World. The Goldenberg’s fundamental theorem of the Algebra of the Chouyi (R34, pp.163-4) reads: “For any hexagram-pair, there exists a third, unique, mediating hexagram which transforms either member of the pair into the other under addition or substraction (modulo-difference which is knowingly also the modulo-sum alias XOR of Computerese). E.g.,

001011 Chien 漸 Tiệm (H53) 100001 I 頤 Di (H27)

+ 100001 I 頤 Di (H27) + 110100 Kuei-Mei 歸 妹 Quy-muội (H54)

101010 Chi Chi 既 濟 Ký-tế (H63) 010101 Wei Chi lang="ZH-CN" > 未 濟 Vị-tế (H64)

R34 Goldenberg, D.S, The Algebra of the Chouyi and its Philosophical Implications, Journal of Chinese Philosophy 2 (1975), 149-76.

R36 Gorenstein, D., The Enormous Theorem, Sci. Am., Vol. 253, Nr. 6, Dec. 1985.

The GRAY CODE ARRANGEMENT

The Gray code is an encoding of unsigned binaries so that adjacent binaries have a single bit different by 1. Usually it is called binary reflected Gray code for it can be generated as follows. Take the gray code 0, 1. Write it forwards then backwards 0, 1, 1, 0. Then prepend 0s to the first half and 1s to the second half: 00, 01, 11, 10, 10, 11, 01, 00 and so on. Each iteration doubles the number of codes. From the five successive iterations we get the 2, 3, 4, 5, 6-bit Gray code which represent successively the Di-, Tri-, Tetra-, Penta- and Hexagrams.

The following tables are sort of bootstrap to § 2.7 below.

Table 2.5.1 Table 2.5.2 Table 2.5.3 Table 2.5.4

2-bit Gray code 3-bit Gray code 4-bit Gray code 5-bit Gray code

0 00 00 000 0000 0000 00000

1 01 01 001 0001 0001 00001

1 11 11 011 0011 0011 00011

0 10 10 010 0010 0010 00010

10 110 0110 0110 00110

11 111 0111 0111 00111

01 101 0101 0101 00101

00 100 0100 0100 00100

1100 1100 01100

1101 1101 01101

1111 1111 01111

1110 1110 01110

1010 1010 01010

1011 1011 01011

1001 1001 01001

1000 1000 01000

11000

11001

11011

11010

11110

11111

11101

11100

10100

10101

10111

10110

10010

10011

10001

10000

Table 2.3 The 2, 3, 4, 5-bit Gray Code’s Arrangement

Table 2.5.4 Table 2.5.5

5-bit Gray code 6-bit Gray code

00000 000000 Khôn K’un

00001 000001 Bác Po

00011 000011 Quan Kuan

00010 000010 Tỷ Pi

00110 000110 Tụy Ts’ui

00111 000111 Bĩ P’i

00101 000101 Tấn Chin

00100 000100 Dự Yü

01100 001100 Tiểu-quá Hsiao Kuo

01101 001101 Lữ Lü

01111 001111 Độn Tun

01110 001110 Hàm Hsien

01010 001010 Kiển Chien

01011 001011 Tiệm Chien

01001 001001 Cấn Kên

01000 001000 Khiêm Ch’ien

11000 011000 Thăng Shêng

11001 011001 Cổ Ku

11011 011011 Tốn Sun

11010 011010 Tỉnh Ching

11110 011110 Đại-quá Ta Kuo

11111 011111 Cấu Kou

11101 011101 Đỉnh Ting

11100 011100 Hằng Hêng

10100 010100 Giải Hsieh

10101 010101 Vị-tế Wei Chi

10111 010111 Tụng Sung

10110 010110 Khốn K’un

10010 010010 Khảm K’an

10011 010011 Hoán Huan

10001 010001 Mông Mêng

10000 010000 Sư Shih

110000 Lâm Lin

110001 Tổn Sun

110011 Trung-phu Chung Fu

110010 Tiết Chieh

110110 Đoài Tui

110111 Lý Lü

110101 Khuể K’uei

110100 Quy-muội Kuei Mei

111100 Đại-tráng Ta Chuang

111101 Đại-hữu Ta Yu

111111 Kiền Ch’ien

111110 Quyết Kuai

111010 Nhu Hsü

111011 Tiểu-súc Hsiao Ch’u

111001 Đại-súc Ta Ch’u

111000 Thái T’ai

101000 Minh-di Minh I

101001 Bí Pi

101011 Gia-nhân Chia Jên

101010 Ký-tế Chi Chi

101110 Cách Ko

101111 Đồng-nhân T’ung Jên

101101 Ly Li

101100 Phong Fêng

100100 Chấn Chên

100101 Phệ-hạp Shih Ho

100111 Vô-võng Wu Wang

100110 Tùy Sui

100010 Truân Chun

100011 Ích I (I⁴)

100001 Di I (Yi₁)

100000 Phục Fu

Table 2.4 The 5-bit and 6-bit Gray Code’s Arrangement